Полуправильные многогранники

Полуправильным называется многогранник, который не выполняет одно из двух условий правильного многогранника — либо его грани не равны, либо они не являются правильными многоугольниками. Выделяют два типа полуправильных многогранников — это Архимедовы и Каталановы тела.

Архимедовы тела обладают двумя свойствами:

  • все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов;
  • для любой пары вершин существует симметрия многогранника переводящая одну вершину в другую.

Предполагается, что первое построение полуправильных многогранников сделал Архимед, в связи с этим они и получили свое название.

Существует 13 Архимедовых тел:

МногогранникГраниВершиныРебра
Кубооктаэдр8 треугольников
6 квадратов
1224
Икосододекаэдр20 треугольников
12 пятиугольников
3060
Усечённый тетраэдр4 треугольника
4 шестиугольника
1218
Усечённый октаэдр6 квадратов
8 шестиугольников
2436
Усечённый икосаэдр12 пятиугольников
20 шестиугольников
6090
Усечённый куб8 треугольников
6 восьмиугольников
2436
Усечённый додекаэдр20 треугольников
12 десятиугольников
6090
Ромбокубооктаэдр8 треугольников
18 квадратов
2448
Ромбоикосододекаэдр20 треугольников
30 квадратов
12 пятиугольников
60120
Ромбоусечённый кубооктаэдр12 квадратов
8 шестиугольников
6 восьмиугольников
4872
Ромбоусечённый икосододекаэдр30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников
120180
Курносый куб*32 треугольника
6 квадратов
2460
Курносый додекаэдр*80 треугольников
12 пятиугольников
60150

Каталановы тела в отличие от Архимедовых имеют одинаковые грани, которые, однако, не являются правильными многоугольниками. В связи с этим они также не могут быть названы правильными многогранниками. Впервые эти тела были описаны бельгийским математиком Еженом Каталаном (Eugene Catalan) во второй половине XVII века.

Существует 13 Каталановых тел:

МногогранникГраниВершиныРебра
Ромбододекаэдр12 ромбов1424
Ромботриаконтаэдр30 ромбов3260
Триакистетраэдр12 треугольников818
Преломлённый куб
(Тетракисгексаэдр)
24 треугольника1436
Пентакисдодекаэдр60 треугольников3290
Триакисоктаэдр24 треугольника1436
Триакисикосаэдр60 треугольников3290
Дельтоидальный икоситетраэдр24 дельтоида2648
Дельтоидальный гексеконтаэдр60 дельтоидов62120
Гекзакисоктаэдр48 треугольников2672
Гекзакисикосаэдр120 треугольников62180
Пентагональный икоситетраэдр*24 пятиугольника3860
Пентагональный гексеконтаэдр*60 пятиугольников92150

* - не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы