Правильные многогранники

Правильный многогранник или Платоново тело (назван в честь античного философа Платона) — это выпуклый многогранник, гранями которого являются одинаковые правильные многоугольники, при этом он обладает пространственной симметрией.

Таким образом, многогранник называется правильным, при соблюдении следующих условий:

  • он выпуклый;
  • все его грани равны;
  • все его грани являются правильными многоугольниками;
  • он имеет один из трёх типов пространственной симметрии: тетраэдрический, октаэдрический или икосаэдрический.

Для трехмерного пространства (в котором мы с вами находимся) существует всего пять правильных многогранников:

МногогранникГраниВершиныРебра
Тетраэдр4 треугольника46
Октаэдр8 треугольников612
Гексаэдр (куб)6 квадратов812
Икосаэдр20 треугольников1230
Додекаэдр12 пятиугольников2030

Название каждого многогранника происходит от сочетания греческого названия количества его граней и слова "эдр" ("грань").

Согласно исследованиям, правильные многогранники известны человечеству с древнейших времён — первые свидетельства обнаружены в Шотландии и относятся к периоду позднего неолита (как минимум за 1000 лет до Платона).

Огромный вклад в изучение правильных многогранников был сделан древними греками. Математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять, дал Теэтет Афинский. Хотя в некоторых работах честь их открытия приписывают Пифагору.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, потому и получили название в честь его имени. Древнегреческий философ в одном из своих трактатов сопоставил четыре элемента (Землю, Воду, Воздух и Огонь) с конкретными правильными многогранниками. Та земля отождествлялась с кубом, вода — с икосаэдром, воздух — с октаэдром, а огонь — с тетраэдром. Данные тезисы Платон обосновывал следующими ассоциациями: вода просачивается сквозь пальцы, если пробовать удержать ее в руке, будто бы она состоит из мириадов маленьких сфер-икосаэдров. В противоположность плавному току воды земля имеет твердую структуру и в то же время может рассыпается в руках, причина этого в том, что земля состоит из мельчайших кубиков. Огонь ощущается ярко и остро, потому что его составляют тетраэдры имеющие самые острые вершины из всех Платоновых тел. Воздух, по мнению ученого, состоит из октаэдров — они не столь остры как тетраэдры и потому их с трудом можно почувствовать.

Что касается пятого правильного многогранника - додекаэдра, то его Платон увязал с Пятым элементом. По записям философа, Пятый элемент бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца. Позднее Аристотель определил Пятый элемент как Эфир и утверждал, что из него сделаны небеса. Однако прямых ссылок к к Пятому элементу Платона он не делал.

Позднее Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников - тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра. Для каждого тела ученый нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра.

Немецкий астроном Иоганн Кеплер в XVI веке пытался установить связь между Меркурием, Венерой, Марсом, Юпитером и Сатурном (пятью известными на тот момент иными планетами Солнечной системы) и Платоновыми телами. В одной из своих книг ученый опубликовал модель Солнечной системы, в которой пять правильных многогранников помещались друг в друга, разделяясь сферами. Каждая из шести сфер в его модели соответствовала одной из планет Солнечной системы, включая Землю. Отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Однако от неординарной идеи Кеплера пришлось отказаться, но в результате его научные изыскания привели к открытию двух законов Кеплера, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).